ABSTRAK
Keseimbangan CvdN dan keseimbangan pangsa keduanya merupakan perluasan dari keseimbangan rasio berbasis biaya-saham untuk ekonomi barang publik global ke ekonomi barang publik lokal. Keseimbangan CvdN dan keseimbangan pangsa berbeda dalam hal persyaratan stabilitas untuk yurisdiksi keseimbangan. Sementara keseimbangan pangsa menjaga pembagian biaya relatif agen tetap di seluruh yurisdiksi dan memungkinkan setiap agen untuk mempertimbangkan perpindahan unilateral ke yurisdiksi alternatif, keseimbangan CvdN menggunakan fungsi pangsa yang memungkinkan penyesuaian keseimbangan pangsa relatif di setiap yurisdiksi dan memerlukan persetujuan semua agen di yurisdiksi alternatif. Terlepas dari perbedaan ini, kami menunjukkan bahwa keseimbangan CvdN memperluas keseimbangan pangsa: setiap pengaturan ekonomi yang didukung dalam keseimbangan pangsa juga merupakan keseimbangan CvdN. Namun, kebalikannya tidak benar dan keseimbangan CvdN mungkin ada ketika keseimbangan pangsa tidak ada. Dengan demikian, keseimbangan CvdN memberikan prediksi di lebih banyak ekonomi dan tidak bertentangan dengan keseimbangan pangsa ketika ada.
1 Pendahuluan
Kami meneliti hubungan antara keseimbangan CvdN (Chan dan van den Nouweland 2025 ) 1 dan keseimbangan pembagian (van den Nouweland dan Wooders 2011 ). Keduanya memperluas konsep keseimbangan rasio (Kaneko 1977a , 1977b ), yang merupakan pendekatan pembagian biaya untuk mencapai keoptimalan dalam ekonomi barang publik global, ke ekonomi barang publik lokal.
Kajian aksiomatik tentang keseimbangan dalam perekonomian barang publik global yang dilakukan oleh van den Nouweland et al. ( 2002 ) menunjukkan bahwa keseimbangan rasio, yang didasarkan pada agen yang membayar bagian biaya barang publik yang dipersonalisasi, lebih mencerminkan gagasan Lindahl ( 1958 ) secara lebih akurat 2 dibandingkan keseimbangan berbasis harga yang dipersonalisasi yang kemudian disebut dengan nama Lindahl. 3
Penemuan kembali keseimbangan rasio memicu minat untuk memperluas konsep keseimbangan ini ke ekonomi barang publik lokal. Hal ini menghasilkan van den Nouweland dan Wooders ( 2011 ), di mana keseimbangan saham didefinisikan dengan memperluas definisi Kaneko ( 1977a , 1977b ) tentang keseimbangan rasio ke ekonomi barang publik lokal. Mirip dengan rasio dalam keseimbangan rasio, keseimbangan saham mencakup indeks saham yang dipersonalisasi untuk setiap agen. Namun, menetapkan hasil keberadaan untuk keseimbangan saham masih sulit dipahami, kecuali untuk kasus khusus ekonomi simetris (lihat van den Nouweland dan Wooders 2017 ).
Dalam Chan dan van den Nouweland ( 2025 ), kami menggunakan fungsi berbagi alih-alih rasio untuk memberikan definisi ekuilibrium rasio yang setara dan kemudian memperluas definisi tersebut ke ekonomi barang publik lokal dan mendefinisikan ekuilibrium CvdN. Kami dapat menunjukkan korespondensi antara ekuilibrium CvdN dan inti permainan hedonik, yang memungkinkan penggunaan kondisi untuk inti yang tidak kosong dari literatur permainan hedonik untuk menetapkan keberadaan ekuilibrium CvdN.
Setelah mendefinisikan dua perluasan keseimbangan rasio terhadap ekonomi barang publik lokal, tentu saja, muncul pertanyaan apakah ada hubungan antara keseimbangan CvdN dan keseimbangan pangsa dan, jika ya, hubungan apa. Kami membahas pertanyaan ini dalam makalah saat ini. Keseimbangan CvdN dan keseimbangan pangsa (SE) keduanya menentukan pembagian agen ke dalam yurisdiksi, produksi barang publik untuk setiap yurisdiksi, dan alokasi barang privat untuk setiap agen. Kedua konsep tersebut didasarkan pada setiap agen yang membayar sebagian dari produksi barang publik yurisdiksi mereka, tetapi keduanya memerlukan kondisi yang berbeda untuk stabilitas antar yurisdiksi. Stabilitas keseimbangan CvdN mempertimbangkan penyimpangan koalisi yang memungkinkan penyesuaian endogen dari pembagian biaya relatif sesuai dengan preferensi agen di setiap yurisdiksi, sementara stabilitas SE didefinisikan menggunakan kriteria unilateral dengan pembagian biaya relatif tetap. Kami menunjukkan bahwa setiap konfigurasi SE adalah keseimbangan CvdN, tetapi kebalikannya tidak benar. Keseimbangan CvdN mungkin ada saat SE tidak ada, dan ekonomi mungkin memiliki beberapa keseimbangan CvdN, beberapa di antaranya adalah konfigurasi SE dan yang lainnya bukan. Dengan demikian keseimbangan CvdN merupakan perluasan dari SE dan memiliki sifat keberadaan yang kurang restriktif dibandingkan SE.
Analisis kami tentang keseimbangan CvdN dan SE sesuai dengan literatur yang lebih luas tentang barang publik lokal, yang telah mempertimbangkan sejumlah konsep keseimbangan yang berbeda dalam hal asumsi dan kondisi stabilitasnya. Literatur ini sebagian besar terinspirasi oleh dugaan Tiebout bahwa mekanisme seperti pasar dapat menghasilkan penyediaan barang publik lokal yang efisien (Tiebout 1956 ), dan literatur yang ada terutama berfokus pada perluasan keseimbangan kompetitif ke ekonomi barang publik lokal dan menganalisis pembiayaan barang publik lokal berbasis harga. Dalam lingkungan ini, Wooders ( 1980 ) memberikan kontribusi penting dengan membuktikan dugaan Tiebout dalam ekonomi dengan kepadatan anonim dan harga barang publik tergantung pada ukuran yurisdiksi. Wooders ( 1989 ) memperluasnya ke ekonomi dengan kepadatan non-anonim dengan menggunakan harga barang publik yang bervariasi menurut yurisdiksi dan jenis kepadatan agen. Kedua makalah ini juga menyertakan harga (mungkin negatif) untuk jenis agen yang memfasilitasi keberadaan struktur yurisdiksi keseimbangan dengan memungkinkan kompensasi agen di yurisdiksi yang kurang diinginkan. Scotchmer dan Wooders ( 1987 ) mempertimbangkan model dengan crowding dalam hal intensitas penggunaan barang publik lokal dan mempertimbangkan sistem harga yang memiliki harga untuk setiap agen untuk setiap yurisdiksi yang mungkin berisi agen tersebut. Selain itu, dalam keseimbangan, harga yang dikenakan secara tepat menutupi biaya produksi barang publik di setiap yurisdiksi karena kondisi laba nol yang berasal dari pencegahan masuk. Konsep keseimbangan berbasis harga ini kemudian muncul di Ellickson et al. ( 2001 ) dan Allouch dan Wooders ( 2008 ), antara lain. Allouch dan Wooders ( 2008 ) (bagian 6) menawarkan diskusi yang bijaksana tentang literatur ini dan nuansa di antara berbagai pendekatan berbasis harga.
Keseimbangan CvdN dan SE relatif unik karena berfokus pada pembagian biaya yang ditentukan secara endogen. 4 Keseimbangan CvdN menggunakan fungsi pembagian, yang menentukan kebalikan dari permintaan barang publik tergantung pada pembagian biaya agen untuk setiap agen dan setiap yurisdiksi yang mencakup agen ini. Ini serupa dengan keseimbangan Scotchmer dan Wooders ( 1987 ), di mana fungsi pembagian setiap agen memberikan pembagian biaya untuk setiap yurisdiksi untuk setiap tingkat barang publik. Berbeda dengan keseimbangan Scotchmer dan Wooders ( 1987 ), dalam konsep keseimbangan berdasarkan pembagian biaya, seperti keseimbangan CvdN dan SE, agen membagi biaya barang publik, menjamin cakupan biaya tingkat keseimbangan barang publik di tingkat yurisdiksi tanpa memerlukan kondisi pencegahan masuk.
Keseimbangan CvdN dan SE berbeda dalam hal kondisi mereka untuk stabilitas antar yurisdiksi—topik lain yang telah dieksplorasi dalam literatur tentang barang publik lokal. Seperti disebutkan di atas, stabilitas keseimbangan CvdN berfokus pada penyimpangan koalisi sambil memungkinkan penyesuaian endogen dari pembagian biaya relatif dalam setiap yurisdiksi, sedangkan stabilitas SE mempertimbangkan kriteria unilateral dengan pembagian biaya relatif tetap. Ketahanan terhadap penyimpangan koalisi adalah persyaratan yang dimiliki bersama antara keseimbangan CvdN dan konsep keseimbangan lainnya, seperti yang dianalisis dalam Wooders ( 1980 , 1988 , 1989 , 1997 ) dan lainnya. Sementara itu, yang lain telah mempelajari keseimbangan mobilitas bebas (misalnya, Konishi 1996 ; Konishi et al. 1998 ), yang lebih dekat dengan kriteria unilateral SE. Kriteria yang berbeda ini menghasilkan rangkaian keseimbangan yang berbeda, yang kami jelajahi lebih lanjut di bawah ini.
2. Ekonomi Barang Publik dan Keseimbangan Rasio
Kami mempertimbangkan ekonomi
dengan satu barang swasta dan satu barang publik dan sekumpulan agen
Dalam ekonomi barang publik lokal , agen dapat membentuk koalisi, yang disebut yurisdiksi , yang memproduksi barang publik untuk penggunaan eksklusif para anggotanya. Kerumunan dan kemacetan mungkin terjadi baik dalam produksi maupun utilitas, yang dinyatakan dalam biaya produksi yang mungkin berbeda di berbagai yurisdiksi dan utilitas agen yang mungkin bergantung secara eksplisit pada yurisdiksi keanggotaan. Setiap agen
diberkahi dengan kuantitas positif
dari barang pribadi dan fungsi utilitas
Seorang agen
siapa yang mengkonsumsi suatu jumlah
dari barang pribadi dan merupakan anggota yurisdiksi
, di mana suatu kuantitas
barang publik yang diproduksi mempunyai manfaat
Biaya produksi
unit barang publik dalam yurisdiksi
diberikan oleh fungsi biaya
, yang dinyatakan dalam bentuk kuantitas barang pribadi. Konfigurasi ekonomi adalah tuple
, Di mana
adalah partisi dari himpunan
semua agen ke dalam yurisdiksi,
adalah tingkat barang publik yang diproduksi di setiap yurisdiksi
, Dan
adalah konsumsi barang pribadi dari setiap agen
Kami menggunakan
untuk menunjukkan yurisdiksi yang mana
adalah anggota, dan dengan demikian agen
memiliki kegunaan
Ekonomi barang publik bersifat global ketika para pelakunya hanya dapat membentuk yurisdiksi
yang mencakup semua agen dalam perekonomian, dan fungsi utilitas dan fungsi biaya hanya didefinisikan untuk
.
Mengikuti Chan dan van den Nouweland ( 2025 ), kami membuat asumsi-asumsi berikut, yang merupakan perluasan dari asumsi-asumsi yang umum dibuat untuk ekonomi barang publik global terhadap ekonomi barang publik lokal. 5
Asumsi 1. Memegang yurisdiksi
konstan, kita asumsikan:
1. Sebagai fungsi konsumsi barang publik dan pribadi, fungsi utilitas masing-masing agen adalah positif, dapat dibedakan dua kali secara berkesinambungan, meningkat secara ketat pada kedua argumen, dan secara ketat kuasi-cekung.
2.Kebaikan publik itu penting: Agen
Kegunaannya selalu lebih tinggi ketika mereka mengonsumsi barang publik dan swasta dalam jumlah positif dibandingkan ketika mereka tidak mengonsumsi barang publik sama sekali.
3.Barang publik bersifat non-Giffen bagi setiap agen
: Agen
Permintaan Marshallian biasa untuk barang publik menurun ketika agen memiliki kendala anggaran linier
Dan
harga yang dipersonalisasi
untuk kebaikan publik meningkat.
4.Sebagai fungsi produksi barang publik, fungsi biaya
adalah dua kali terdiferensialkan secara terus-menerus, meningkat secara ketat, dan cembung, dan dinormalisasi sehingga biaya tidak adanya barang publik sama dengan 0.
Keseimbangan rasio (RE) merupakan solusi terdesentralisasi dalam ekonomi barang publik global yang mana (a) para pelaku sepakat mengenai cara membagi biaya barang publik, (b) setiap pelaku berperilaku rasional dan memilih tingkat barang publik yang memaksimalkan utilitas dengan mempertimbangkan porsi biaya yang menjadi tanggung jawab mereka, dan (c) porsi biaya para pelaku sedemikian rupa sehingga semua pelaku menuntut tingkat barang publik yang sama.
Definisi 1. (Kaneko ([ 1977a ], [ 1977b ])) Keseimbangan rasio terdiri dari alokasi
dan pembagian biaya (yang disebut Kaneko sebagai rasio)
memenuhi kondisi yang
dan untuk masing-masing
1.
2.
untuk semua
Dan
dengan
, ia berpendapat bahwa
Chan dan van den Nouweland ( 2025 ) memberikan definisi alternatif RE dengan menggunakan fungsi berbagi, yang pada dasarnya merupakan kebalikan dari fungsi permintaan agen. Fungsi berbagi didefinisikan sehubungan dengan yurisdiksi dan tingkat barang publik di yurisdiksi tersebut sebagai berikut. Di setiap yurisdiksi
, setiap agen
Permintaan ‘untuk kebaikan publik sebagai fungsi dari
pembagian biaya ‘
, dilambangkan
, secara ketat menurun. Fungsi berbagi
adalah kebalikan dari fungsi permintaan ini: fungsi ini menetapkan pada setiap tingkat barang publik
dan yurisdiksi
pembagian biaya
yang seperti itu
Penggunaan fungsi pembagian menghilangkan kebutuhan untuk memasukkan rasio dalam definisi keseimbangan rasio. 6
Definisi 2. (Chan dan van den Nouweland ([ 2025 ])) Keseimbangan rasio adalah keseimbangan alokasi
memenuhi persyaratan
1.
2.
untuk masing-masing
3. Keseimbangan CvdN dan Keseimbangan Saham
Keseimbangan CvdN dan keseimbangan pangsa keduanya merupakan perluasan dari keseimbangan rasio terhadap ekonomi barang publik lokal; keduanya mencakup penentuan struktur yurisdiksi dan, lebih jauh lagi, mengharuskan setiap yurisdiksi yang dibentuk berada dalam keseimbangan rasio dalam ekonomi yang dibatasi pada yurisdiksi tersebut.
Keseimbangan pembagian (SE) memperluas dasar pembagian biaya yang dipersonalisasi dari Definisi 1 ke ekonomi barang publik lokal. Dalam keseimbangan pembagian, setiap agen
memiliki indeks saham positif masing-masing
Indeks saham tersebut tetap sama terlepas dari yurisdiksi mana
bergabung. Namun, di setiap yurisdiksi (kontrafaktual)
bagian ‘s
biaya tergantung pada susunan indeks saham untuk anggota di yurisdiksi tersebut dan
≔
⧹
Dengan demikian, pembagian biaya agen di yurisdiksi ditentukan oleh indeks pembagian relatif mereka, dan
berlaku menurut definisi untuk setiap yurisdiksi
Agen menggunakan pembagian biaya ini saat mereka mempertimbangkan yurisdiksi hipotetis.
Definisi 3. (van den Nouweland dan Wooders ([ 2011 ])) Keseimbangan saham terdiri dari konfigurasi
dan berbagi indeks
memenuhi persyaratan untuk setiap agen
1.
2.
untuk semua
, Dan
dengan
, jika
, Kemudian
Kondisi 1, Definisi Saham
, dan Kondisi 2 diterapkan pada
, menyiratkan bahwa untuk setiap yurisdiksi keseimbangan
, alokasi
adalah RE dari ekonomi yang dibatasi pada yurisdiksi tersebut. Kondisi 2 mendefinisikan stabilitas yurisdiksi sehingga tidak ada agen
akan lebih memilih menjadi bagian dari yurisdiksi yang berbeda
ketika pembagian biaya relatif ditentukan oleh
.
Keseimbangan CvdN memanfaatkan fungsi pembagian untuk memperluas Definisi 2 keseimbangan rasio ke ekonomi barang publik lokal.
Definisi 4. (Chan dan van den Nouweland ([ 2025 ])) Kesetimbangan CvdN adalah konfigurasi
memenuhi persyaratan
1.
Untuk setiap
Tingkat barang publik dalam yurisdiksi adalah tingkat yang biayanya disetujui bersama oleh para anggotanya:
.
2.
Konsumsi barang pribadi setiap agen sedemikian rupa sehingga kendala anggaran mereka berlaku secara setara:untuk masing-masingDan.
3.
adalah partisi darisedemikian rupa sehingga tidak ada koalisi agen yang ingin berpindah dari yurisdiksi masing-masing untuk membentuk yurisdiksi baru di antara mereka sendiri, dengan mempertimbangkan bahwa dalam setiap yurisdiksi alternatif, tingkat pembagian barang publik dan biaya akan ditentukan dengan menggunakan fungsi pembagian anggota: Tidak adaseperti yanguntuk semua, Di manamenunjukkan tingkat kebaikan publik sedemikian rupa sehingga.
Kondisi 1 dan 2 menyiratkan bahwa untuk setiap yurisdiksi keseimbangan, alokasiadalah RE ekonomi yang dibatasi pada yurisdiksi tersebut. Kondisi 3 mendefinisikan stabilitas yurisdiksi sehingga tidak ada koalisi agen yang lebih memilih yurisdiksi kontrafaktual.ketika pembagian biaya disesuaikan dengan tingkat RE di.
Keseimbangan pembagian sama dengan keseimbangan kompetitif dalam ekonomi barang swasta. Setiap agen memilih pengaturan yang memaksimalkan utilitas (yurisdiksi dan tingkat barang publik) dengan batasan anggaran mereka. Indeks pembagian konstan memastikan bahwa pembagian biaya relatif yang ditanggung oleh dua agen yang tinggal di yurisdiksi yang sama berada dalam proporsi konstan tanpa memandang ukuran yurisdiksi atau keanggotaan. Indeks pembagian ekuilibrium memainkan peran yang mirip dengan harga dalam ekonomi barang swasta: mereka menyeimbangkan semua permintaan agen dalam hal yurisdiksi dan tingkat barang publik.
Keseimbangan CvdN didasarkan pada fungsi pembagian . Pembagian biaya agen adalah
, Di mana
adalah nilai keseimbangan rasio dalam
didefinisikan secara implisit oleh
⧹
Bagian relatif yang dihasilkan oleh fungsi bagian ini dapat bervariasi berdasarkan ukuran yurisdiksi dan keanggotaan, tergantung pada fungsi utilitas agen dan biaya produksi yurisdiksi.
Jika
adalah indeks saham ekuilibrium yang mendukung konfigurasi
di SE, maka
Dan
untuk setiap yurisdiksi keseimbangan
dan setiap agen
. 7 Dengan demikian, keseimbangan CvdN dan SE keduanya mengarah pada keseimbangan rasio di setiap yurisdiksi yang terbentuk, dan divergensi dalam prediksi kedua konsep tersebut hanya dapat berasal dari struktur yurisdiksi keseimbangan karena kondisi stabilitas yang berbeda. SE memeriksa penyimpangan oleh agen tunggal tanpa mempertimbangkan bagaimana agen lain akan menanggapi penyimpangan yang direnungkan. Keseimbangan CvdN memperhitungkan penyesuaian yang diantisipasi dalam yurisdiksi yang mungkin dianggap menyimpang oleh agen dan hanya mempertimbangkan penyimpangan yang didukung oleh semua agen lain di yurisdiksi tersebut.
Keseimbangan SE dan CvdN berbeda dalam kemungkinan agen untuk “memblokir” konfigurasi yang diusulkan. Sementara SE memungkinkan agen untuk menggunakan barang publik tingkat apa pun yang layak bagi mereka di yurisdiksi alternatif
Keseimbangan CvdN hanya memperbolehkan pertimbangan rasio tingkat keseimbangan barang publik
. Hal ini memudahkan yurisdiksi hipotetis untuk “memblokir” konfigurasi dalam definisi SE. Namun, kekuatan lain dapat mempermudah yurisdiksi hipotetis untuk “memblokir” konfigurasi dalam definisi keseimbangan CvdN. Dalam keseimbangan CvdN, pembagian biaya relatif agen dalam yurisdiksi hipotetis disesuaikan dengan kekhususan yurisdiksi tersebut, sedangkan dalam SE pembagian biaya relatif dari dua agen mana pun bersifat konstan di seluruh yurisdiksi.
Teorema 1 menunjukkan bahwa keseimbangan CvdN merupakan perluasan dari SE.
Teorema 1. Setiap konfigurasi keseimbangan saham merupakan keseimbangan CvdN.
Bukti Teorema 1. Misalkan konfigurasi
dan berbagi indeks
menjadi SE. Untuk setiap
, pembatasan SE untuk
adalah RE. Maka dari itu, untuk setiap yurisdiksi,
terdapat tingkat RE yang unik dari barang publik
dan hal ini ditandai dengan
(lihat Lemma A.1 di Chan dan van den Nouweland ( 2025 )), bahwa untuk setiap
itu menyatakan bahwa
Dan
. Dengan demikian, Kondisi 1 dari keseimbangan CvdN terpenuhi. Kondisi 2 dari keseimbangan CvdN kemudian mengikuti dari Kondisi 1 dari SE dan fakta bahwauntuk setiap agendan setiap yurisdiksi keseimbangan.
Seperti yang ditunjukkan pada Teorema 1 van den Nouweland dan Wooders ( 2017 ), konfigurasi SEmemenuhi kondisi berikut: Untuk setiapdan alokasiyang layak untuk(yaitu,), jika ada pemainsiapa yang lebih baik — yaitu,— maka ada pemainsiapa yang lebih buruk keadaannya — yaitu,Oleh karena itu, untuk menyimpulkan bahwa Kondisi 3 dari keseimbangan CvdN terpenuhi, cukup dengan menetapkan bahwauntuk setiapDantingkat kebaikan publik sedemikian rupa sehinggaBuktinya disimpulkan dengan mencatat bahwadengan mudah memberi.
Sedangkan Teorema 1 menunjukkan bahwa setiap konfigurasi SE adalah kesetimbangan CvdN, contoh berikut menunjukkan bahwa kebalikannya mungkin tidak berlaku. 8
Contoh 2. (Keseimbangan CvdN mungkin ada ketika SE tidak ada) Pertimbangkan ekonomi 2-agen denganuntuk setiap agen, Dan
Pertama-tama kami menunjukkan bahwa perekonomian mengakui adanya keseimbangan CvdN. Dalam yurisdiksi, tingkat keseimbangan rasio barang publik sama dengan, yang menghasilkan utilitas maksimum agen 1 sebesar. Dalam yurisdiksi, tingkat keseimbangan rasio barang publik sama dengan, yang menghasilkan utilitas maksimum agen 2 sebesar. Dalam yurisdiksi, tingkat keseimbangan rasio barang publik sama dengan, dengan agen 1 membayardari biaya produksi barang publik (dan agen 2 membayar). Hal ini mengakibatkan utilitasDanAgen 1 tidak akan setuju untuk membentukkarena utilitasnya berada dalam keseimbangan rasio dilebih kecil dibandingkan dengan yurisdiksi tunggalOleh karena itu, perekonomian ini mengakui adanya keseimbangan CvdN yang unik, di mana kedua yurisdiksiDanterbentuk.
Namun, tidak ada konfigurasi yang konsisten dengan SE. Untuk menemukan SE di manaterbentuk,harus dipertahankan karena rasio keseimbangan dimelibatkan agen 1 yang menyumbang dua kali lipat dari agen 2 terhadap biaya produksi barang publik. Seperti yang telah kami tunjukkan di atas, dengan indeks pangsa relatif ini, agen 1 akan lebih memilih untuk membentuk yurisdiksi
dan dengan demikian menghalangi pembentukan
Kami menyimpulkan bahwa tidak ada indeks saham yang mendukung
Untuk menemukan SE di mana dua yurisdiksi tunggal
Dan
terbentuk, indeks saham harus sedemikian rupa sehingga agen 1 lebih menyukai
dan agen 2 lebih suka
Tanpa kehilangan keumuman, kami menormalkannya sehingga
Ketika pembagian biaya agen 1 dalam yurisdiksi
sama dengan
, tingkat barang publik yang memaksimalkan utilitas agen 1 di yurisdiksi tersebut adalah
Oleh karena itu, agen 1 lebih memilih
di SE, kita butuh
, atau
Ketika pembagian biaya agen 2 dalam yurisdiksi
sama dengan
, tingkat barang publik yang memaksimalkan utilitas agen 2 di yurisdiksi tersebut adalah
Oleh karena itu, agen 2 lebih memilih
di SE, kita butuh
, atau
Kami telah menyimpulkan bahwa untuk dua yurisdiksi tunggal
Dan
untuk didukung di SE, kita memerlukan indeks saham yang mengharuskan kedua agen untuk membayar lebih dari setengah biaya produksi barang publik di yurisdiksi
Kami menyimpulkan bahwa tidak ada indeks saham yang mendukung dua yurisdiksi tunggal tersebut
Dan
di SE.
Contoh 2 membuka kemungkinan bahwa setiap ekuilibrium CvdN merupakan konfigurasi SE dalam perekonomian yang mengakui adanya SE. Untuk menunjukkan bahwa hal ini tidak terjadi, kami menemukan bahwa kami perlu mempertimbangkan perekonomian dengan setidaknya empat agen.
Contoh 3. (Sebuah perekonomian dengan ekuilibrium CvdN yang juga merupakan konfigurasi SE dan ekuilibrium CvdN lain yang bukan konfigurasi SE) Perhatikan sebuah perekonomian
dengan empat agen,
, dengan dana abadi
, Dan
Setiap agen
memiliki fungsi utilitas
, dan parameternya adalah:
Untuk agen 1:
, Dan
untuk
.
, Dan
.
Untuk agen 2:
untuk
.
, Dan
.
Untuk agen 3:
untuk
.
, Dan
.
Untuk agen 4:
untuk
.
, Dan
.
Biaya bersifat linier di setiap yurisdiksi, dan
untuk semua yurisdiksi
dan tingkatan barang publik
, dengan
, Dan
untuk semua yang lainnya
.
Kami mempertimbangkan struktur yurisdiksi
Dan
dan menunjukkan bahwa struktur yurisdiksi
didukung dalam keseimbangan CvdN dan juga di SE, dan struktur yurisdiksi tersebut
didukung dalam keseimbangan CvdN tetapi tidak dalam SE. 9
Struktur yurisdiksi
didukung dalam keseimbangan CvdN dan juga dalam SE.
Pertimbangkan indeks saham
, Dan
Kami menunjukkan bahwa indeks saham
mendukung
di SE.
Pertimbangkan agen
Di suatu yurisdiksi
dengan tingkat kebaikan publik
, agen
harus membayar biaya bersama
dan dengan demikian memiliki manfaat
. Utilitas Agen i dalam yurisdiksi
Oleh karena itu maksimal ketika
Kondisi 2 dari Definisi 3 keseimbangan saham terpenuhi untuk agen
kapan untuk setiap yurisdiksi
ekspresi pada persamaan ( 2 ) tidak melebihi utilitas agen i dalam RE di yurisdiksi
itu termasuk
Kami mempertimbangkan dua yurisdiksi
Dan
yang merupakan
pada gilirannya.
Yurisdiksi
:Perhatikan bahwa untuk setiap
kami memilih
, dan dengan demikian
Menggunakan ini dalam ekspresi ( 1 ) untuk
kita menemukan bahwa dalam yurisdiksi
dengan indeks saham
, Dan
Setiap agen dalam yurisdiksi memiliki utilitas maksimal pada jumlah barang publik yang sama, yang merupakan jumlah RE barang publik, sehingga
Perhitungan yang tidak memerlukan lebih dari sekedar memasukkan nilai-nilai dari berbagai
S,
S,
pasir
s, mengungkapkan bahwa untuk setiap agen
, ekspresi ( 3 ) melebihi ekspresi ( 2 ) untuk semua yurisdiksi
.
Kami menyimpulkan bahwa setiap agen
lebih memilih RE dalam yurisdiksi
semaksimal mungkin
di yurisdiksi lain mana pun
mengandung i ketika mereka harus membayar biaya bersama
.
Yurisdiksi
:Perlu dicatat bahwa dalam yurisdiksi
, agen 4 membayar seluruh biaya produksi barang publik tanpa memperhatikan indeks bagian mereka, dan dengan menggunakan persamaan ( 2 ) kita menemukan bahwa utilitas agen 4 dalam RE dalam yurisdiksi
sama dengan
Perhitungan yang tidak memerlukan lebih dari sekedar memasukkan nilai-nilai dari berbagai
S,
S,
pasir
s, menunjukkan bahwa ekspresi ( 4 ) melebihi ekspresi ( 2 ) untuk agen
dan semua yurisdiksi
.
Kami menyimpulkan bahwa agen 4 lebih memilih RE dalam yurisdiksi
semaksimal mungkin
di yurisdiksi lain mana pun
berisi 4 ketika mereka harus membayar biaya bersama
.
Kami telah menunjukkan bahwa indeks saham
dan konfigurasi dengan struktur yurisdiksi
dan tingkat RE konsumsi barang publik dan swasta di kedua yurisdiksi ini membentuk SE.
Untuk menetapkan struktur yurisdiksi tersebut
juga didukung dalam kesetimbangan CvdN, kita dapat menggunakan Teorema 1 untuk menyimpulkan bahwa konfigurasi SE yang kita temukan adalah kesetimbangan CvdN. 10
Struktur yurisdiksi
didukung dalam keseimbangan CvdN tetapi tidak dalam SE.
Pertama-tama kami menunjukkan bahwa
didukung dalam keseimbangan CvdN. Untuk melakukannya, kita perlu menentukan RE di setiap yurisdiksi.
Pertimbangkan agen
Jika agen
harus membayar biaya bersama
di suatu yurisdiksi
dengan tingkat kebaikan publik
, kegunaannya sama dengan
. Utilitas Agen i dalam yurisdiksi
Oleh karena itu maksimal ketika
Kondisi 3 dari Definisi 4 kesetimbangan CvdN terpenuhi untuk agen
kapan untuk setiap yurisdiksi
ekspresi ( 8 ) tidak melebihi utilitas agen i dalam RE di yurisdiksi
itu termasuk
.
Perhitungan yang tidak memerlukan lebih dari sekedar memasukkan nilai-nilai dari berbagai
S,
S,
pasir
s ke dalam ekspresi ( 8 ) mengungkapkan bahwa agen 2 lebih memilih RE dalam yurisdiksi
ke RE di semua yurisdiksi lain yang mencakup 2, dan agen 4 lebih memilih RE di yurisdiksi tersebut
ke RE di semua yurisdiksi lain yang mencakup 4. Agen 1 hanya lebih memilih RE di yurisdiksi
ke RE yang berwenang
, tetapi lebih memilih RE dalam yurisdiksi
ke RE semua yurisdiksi yang tersisa termasuk mereka.
Karena agen 2 dan 4 lebih memilih yurisdiksi
ke semua yurisdiksi lain, dan satu-satunya agen yurisdiksi 1 lebih memilih
termasuk agen 2, tidak ada yurisdiksi
itu lebih disukai daripada
oleh semua agen di
Agen 3 kemudian tidak punya pilihan lain selain membentuk yurisdiksi tunggal. Kami menyimpulkan bahwa struktur yurisdiksi
bersama dengan rasio keseimbangan konsumsi bundel di kedua yurisdiksi
Dan
, membentuk kesetimbangan CvdN.
Kami melanjutkan dengan menunjukkan bahwa
tidak didukung di SE dengan menunjukkan bahwa untuk indeks saham apa pun
agen 3 memiliki penyimpangan yang menguntungkan dari yurisdiksi
. Perlu dicatat bahwa dalam yurisdiksi
, agen 3 membayar seluruh biaya produksi barang publik tanpa memperhatikan indeks bagian mereka, dan dengan menggunakan ekspresi ( 2 ) kita menemukan bahwa utilitas maksimal agen 3 dalam yurisdiksi
sama dengan
Karena ekspresi ( 10 ) lebih besar dari ekspresi ( 9 ), agen 3 memiliki deviasi yang menguntungkan dari
di bawah indeks saham
, dan Kondisi 2 Definisi 3 tidak dapat dipenuhi.
Kami menyimpulkan bahwa tidak ada indeks saham yang mendukung struktur yurisdiksi
di SE.
4 Kesimpulan
Kami menunjukkan bahwa ekuilibrium CvdN merupakan perluasan dari ekuilibrium rasio terhadap ekonomi barang publik lokal yang tidak bertentangan dengan ekuilibrium saham. Kami tidak hanya menunjukkan bahwa setiap konfigurasi SE merupakan ekuilibrium CvdN, tetapi juga bahwa suatu ekonomi dapat menerima beberapa ekuilibrium CvdN, yang hanya beberapa atau tidak ada yang merupakan konfigurasi SE. SE mendahului ekuilibrium CvdN sebagai perluasan RE terhadap ekonomi barang publik lokal, tetapi hingga saat ini, hasil eksistensi untuk SE hanya ditetapkan dalam ekonomi di mana semua agen identik dalam semua hal. Sebaliknya, hasil eksistensi untuk ekuilibrium CvdN dapat ditetapkan dalam ekonomi dengan agen heterogen. Keuntungan dari ekuilibrium CvdN adalah bahwa ia memiliki sifat eksistensi yang lebih baik daripada SE, sehingga konsep solusi dapat digunakan dalam lebih banyak ekonomi barang publik lokal. Misalnya, keberadaan ekuilibrium CvdN dapat ditetapkan dalam perekonomian yang biaya-biayanya linear dalam ukuran yurisdiksi (tetapi tidak harus linear dalam jumlah barang publik) dengan fungsi-fungsi utilitas yang dapat dipisahkan secara perkalian dalam utilitas konsumsi Cobb-Douglas dan utilitas yurisdiksi yang mana utilitas yurisdiksi tersebut tidak eksplisit (yaitu, konstan di seluruh yurisdiksi) atau agen-agen memiliki preferensi yurisdiksi yang eksplisit untuk yurisdiksi-yurisdiksi dengan ukuran tertentu (seperti, misalnya, pernikahan 2 orang atau tim sepak bola 11 pemain). 11 Hal ini memungkinkan utilitas konsumsi yang heterogen di antara para agen dan dengan demikian menetapkan keberadaan ekuilibrium CvdN dalam kelas perekonomian yang jauh lebih besar daripada yang di mana van den Nouweland dan Wooders ( 2017 ) mampu menetapkan keberadaan SE. Selain itu, ekuilibrium CvdN lebih cocok untuk analisis daripada SE. Hal ini dapat digunakan untuk memperoleh hasil-hasil seperti penyortiran yang muncul dari preferensi barang publik agen-agen, seperti yang diilustrasikan dalam Chan dan van den Nouweland ( 2025 ).
Leave a Reply